Montrer que l’application \(A\mapsto (\det(A))^{-1/2}\) de l’ensemble \(\mathscr S_n^{++}\) des matrices symétriques définies positives dans \(\mathbb R_+^\star\) est strictement convexe.


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[ID: 2361] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

Soit \(A\in\mathscr S_n^{++}\) de valeurs propres \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\). En se placant dans une base orthonormale de réduction de \(A\) nous avons \[\int_{\mathbb R^n}e^{-\langle Ax,x\rangle}dx_1\dots dx_n =\int_{\mathbb R^n}e^{-(\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2)}dy_1\dots dy_n =(\det(A))^{-1/2}C\quad\text{où}\quad C=\pi^{n/2}.\] Il suffit maintenant de remarquer que la fonction \(x\mapsto e^{-x}\) est strictement convexe sur \(\mathbb R\) pour conclure.


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