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[ID: 2359] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur l’équation \(S=X^2\) dans \(M_n(\mathbb C)\) avec \(S\) symétrique et \(X\) antisymétrique.
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

On va montrer que \(S\) est le carré d’une matrice antisymétrique réelle si et seulement si, toutes ses valeurs propres sont négatives et ses valeurs propres strictement négatives sont de multiplicité paire.

-(condition suffisante). Si \(S\) est la matrice nulle, alors \(S=0^2\) et on peut supposer désormais \(S\neq 0\). \(S\) est symétrique réelle, ses valeurs propres sont réelles et peuvent, vu les hypothèses, s’écrire sous la forme \[-a_1^2,-a_1^2,-a_2^2,-a_2^2,\dots,-a_l^2,-a_l^2,0,\dots,0\] où \(a_1,a_2,\dots a_l\in\mathbb R_+^\star\) (et ne sont pas forcément distincts). Toujours parce que \(S\) est symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base orthonormée : \[\exists\,O\in O_n(\mathbb R)\ :\quad O^{-1}SO= \text{diag}(-a_1^2,-a_1^2,-a_2^2,-a_2^2,\dots,-a_l^2,-a_l^2,0,\dots,0).\] Notons pour \(k\in\{1,\dots,l\}\) \[A_k=\begin{pmatrix}0&-a_k\\a_k&0\end{pmatrix}\] et considérons la matrice diagonale par blocs \[R=\text{diag}(A_1,A_2,\dots,A_l,0,\dots,0)\in M_n(\mathbb R).\] \(R\) est bien antisymétrique réelle et un calcul par blocs montre que \[R^2= \text{diag}(-a_1^2,-a_1^2,-a_2^2,-a_2^2,\dots,-a_l^2,-a_l^2,0,\dots,0)=O^{-1}SO=\,^t\!OSO,\] \(OR\, ^t\!O\) est une matrice antisymétrique réelle vérifiant \((OR\, ^t\!O)^2=S\), CQFD.

-Pour la condition nécessaire, si \(S=R^2\) avec \(R\) antisymétrique, comme \(R=-\,^t\!R\) on a \(S=R^2=-\,^t\!RR\) qui implique \[\forall\, X\in\mathbb R^n,\quad ^t\!XSX=-\,^tX\,^t\!RRX=-\Vert RX\Vert^2\] qui prouve que \(S\) est symétrique réelle négative : son spectre est donc inclu dans \(\mathbb R_-\).

Les valeurs propres de \(S\) sont les carrés des valeurs propres de \(R\) qui sont donc imaginaire pures et stables par conjugaison puisque \(R\) est à coefficients réels. (\(\lambda\in\text{spec}(S)\implies \pm i\sqrt{\lambda}\in\text{spec}(R)\)) : elles sont donc de multiplicité paire. CQFD.