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[ID: 2357] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Matrices entières inversibles
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

Il faut se souvenir qu’une matrice \(M\) à coefficients entiers est inversible avec un inverse à coefficients entiers si et seulement si \(\det(M)=\pm 1\) (si \(M\) admet un tel inverse \(N\) alors, \(\det(M)\det(N)=\det(M)\det(N)=1\) soit \(\det(M)=\pm 1\) ; réciproquement si \(\det(M)=\pm 1\) alors \(\pm\widetilde{M}\) (où \(\widetilde{M}\) est la transposée des cofacteurs de \(M\)) est l’inverse de \(M\)).

Considérons alors le polynôme de degré au plus \(2\), \(f(x)=\det(A+xB)\). Vu les hypothèses et la remarque préliminaire \(f(x)=\pm 1\) pour \(x=0,1,2,3\) et \(4\) ; par le principe des tiroirs \(f\) prends une des valeurs \(\pm 1\) au moins trois fois ce qui le force à être constant, en particulier \(\det(A+5B)=\pm 1\), CQFD