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[ID: 2355] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Calcul de \(\exp(A)\) où \(A=((\exp(2i\pi(k+l)/5)))_{k,l}\in M_5(\mathbb C)\).
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

1. Nous avons \[A=\begin{pmatrix}1&\omega&\dots&\omega^4\\ \omega&\omega^2&\dots&\omega^5\\ \omega^2&\omega^3&\dots&\omega^6\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \omega^4&\omega^5&\dots&\omega^8 \end{pmatrix},\] les colonnes de \(A\) sont proportionnelles : \(A\) est donc de rang \(1\) et donc semblable à une matrice de la forme \[B=\begin{pmatrix}0&\dots&0&?\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ \vdots&&\dots&?\\ 0&\dots&0&\text{tr}(A)\end{pmatrix}.\] Mais \(\text{tr}(A)=1+\omega^2+\omega^4+\omega^6+\omega^8=0\) implique que \(B^2=0\) puis \(A^2=0\) : la matrice \(A\) n’est donc pas diagonalisable.

2. \(A^2=0\) implique \(A^n=0\) pour tout entier \(n\geq 2\), par conséquent \(\exp(A)=I_5+A\).