Soient \(p,n,m\in\mathbb N^\star\) avec \(m\geq 2\). On considère une matrice \(A\in M_n(\mathbb Z)\) vérifiant \(A^p=I_n\) et \(A\equiv I_n(m)\). Montrer que \(A=I_n\).

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[ID: 2353] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Sur l’équation \(A^p=I_n\) dans \(M_n(\mathbb Z)\).
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40

Il existe par hypothèse \(B\in M_n(\mathbb Z)\) telle que \[A=I_n+mB.\] En outre, le polynôme \(X^p-1\) scindé à racines simples annule la matrice \(A\) qui est donc diagonalisable dans \(M_n(\mathbb C)\) ses valeurs propres étant des racines \(p\)-ièmes de l’unité.

Nous avons \(B=m^{-1}(A-I_n)\). \(B\) est aussi diagonalisable et ses valeurs propres sont de la forme \(m^{-1}(\lambda-1)\) avec \(\lambda^p=1\). Alors, comme \[\vert m^{-1}(\lambda-1)\vert \leq \dfrac{2}{m}<1\] on a \[\lim_{k\to+\infty} B^k=0.\] Mais les matrices \(B^k\) sont à coefficients entiers : la seule alternative est donc qu’il existe un entier \(k_0\) tel que \(B^{k_0}=0\). La matrice \(B\) est donc diagonalisable et nilpotente : c’est la matrice nulle et finalement \(A=I_n\)

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