1. Montrer que l’application qui à \(A\in M_n(\mathbb K)\ (\mathbb K=\mathbb R\ \text{ou}\ \mathbb C)\) associe \(f_A\ :\ M_n(\mathbb K)\ni M\mapsto f_A(M)=\text{Tr}(AM)\) établit un isomorphisme entre \(M_n(\mathbb K)\) et son dual.

  2. Soit \(f\in M_n(\mathbb K)'\) une forme linéaire sur \(M_n(\mathbb K)\) vérifiant \[f(XY)=f(YX),\qquad\forall\,X,Y\in M_n(\mathbb K).\] Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbb K\) tel que pour toute matrice \(X\in M_n(\mathbb K)\), \(f(X)=\lambda\text{Tr}(X)\).

  3. Montrer que pour tout \(n\geq 2\), tout hyperplan de \(M_n(\mathbb K)\) rencontre \(GL_n(\mathbb K)\).


Barre utilisateur

[ID: 2349] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:40] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (2)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:40
  1. On vérifie facilement que \(f_A\) est linéaire ; pour des raisons de dimension, il est donc suffisant de montrer que l’application \(A\mapsto f_A\) est injective :

    Soit \(A=((a_{i,j}))\) telle que \(f_A=0\). \((E_{i,j})\) désignant la base canonique de \(M_n(\mathbb K)\) on a pour \(1\leq k,l\leq n\) \[\begin{aligned} 0= f_A(E_{k,l})=\text{Tr}(AE_{k,l})&=\text{Tr}\left(\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}E_{i,j}E_{k,l} \right)\\ &= \text{Tr}\left(\sum_{i=1}^na_{i,k}E_{i,l} \right)\quad\text{car}\ E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}\\ &=\sum_{i=1}^na_{i,k}\text{Tr}(E_{i,l})=a_{l,k}. \end{aligned}\] Et \(A\) est bien nulle.

  2. Soit \(f\) une telle forme et \(1\leq i,j\leq n\), si \(i\neq j\) \[f(E_{i,j})=f(E_{i,i}E_{i,j})=f(E_{i,j}E_{i,i})=0,\] et \[f(E_{i,i})=f(E_{i,j}E_{j,i})=f(E_{j,i}E_{i,j})=f(E_{j,j}):=\lambda.\] Ainsi, \(f\) et \(\lambda\text{Tr}\) coïncident sur la base canonique de \(M_n(\mathbb K)\) : elles sont égales.

    Remarque : On trouvera aussi dans [fgna1], exercice 7.7 une autre démonstration s’appuyant sur la première question.

  3. Un hyperplan \(H\) de \(M_n(\mathbb K)\) est le noyau d’une forme linéaire \(f\) non nulle ; il existe donc \(A\in M_n(\mathbb K)\) non nulle, telle que \(f=f_A\) et \(H=\{ X\in M_n(\mathbb K)\ :\ \text{Tr}(AX)=0\}\). Il s’agit donc de montrer qu’il existe \(X\in GL_n(\mathbb K)\) telle que \(\text{Tr}(AX)=0\). Pour cela, soit \(r\geq 1\) le rang de \(A\), il existe1 \(P\) et \(Q\) dans \(GL_n(\mathbb R)\) telle que \[PAQ=J_r=\begin{pmatrix} I_r & 0\\0&0 \end{pmatrix}.\] Alors, pour \(X\in M_n(\mathbb K)\), \(\text{Tr}(AX)=\text{Tr}(P^{-1}J_rQ^{-1}X)=\text{Tr}(J_rQ^{-1}XP^{-1})\) et il suffit donc de trouver une matrice inversible \(Y\) telle que \(\text{Tr}(J_rY)=0\) (\(X=QYP\) répondra alors à la question). Par exemple, la matrice de permutation \[Y=\begin{pmatrix} 0&0&\dots&\dots &0&1\\ 1&0&\ddots &&&0\\ 0&1&0&&&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&&&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&1&0 \end{pmatrix}\] convient puisque \(J_rY\) est de diagonale nulle.

    Remarque :


  1. 1  donner une référence

Documents à télécharger

Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (2)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice