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[ID: 2347] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (1)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

1. \(\mathscr H\) est un hyperplan de \(M_n(\mathbb C)\) : il existe donc une forme linéaire non nulle \(\varphi\) sur \(M_n(\mathbb C)\) telle que \(\mathscr H=\ker(\varphi)\). Tous les éléments \(E_{i,j}=((\delta_{i,j}^{k,l}))_{k,l}\) de la base canonique de \(M_n(\mathbb C)\) sont, si \(i\neq j\) des matrices nilpotentes donc, vu les hypothèses, dans \(\mathscr H\). Dans ce cas, la matrice \[A=E_{n,1}+\sum_{k=1}^{n-1} E_{k,k+1}= \begin{pmatrix} 0&1&0&\dots &0&\\ \vdots& \ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& & \ddots&\ddots&0\\ 0& &&\ddots &1\\ 1&0&\dots&\dots&0 \end{pmatrix}\] appartient à \(\mathscr H\) comme combinaison linéaire d’éléments de \(\mathscr H\) mais visiblement \(A\in GL_n(\mathbb C)\) d’où le résultat.

2. Soit \(\mathscr H=\ker(\varphi)\), \((\varphi\in M_n(\mathbb C)^\star\setminus\{0\})\) un hyperplan de \(M_n(\mathbb C)\).

   -Si \(\mathscr H\) contient toutes les matrices nilpotente, il n’y a rien à démontrer vu la question précédente.

   -Sinon, considérons une matrice nilpotente \(N\not\in\mathscr H\) i.e. \(\varphi(N)\neq 0\) et posons \[t:=\dfrac{\varphi(I_n)}{\varphi(N)}\in\mathbb C.\] Si \(\varphi(I_n)=0\) alors \(I_n\in\mathscr H\cap GL_n(\mathbb C)\) et le tour est joué. Sinon, puisque \(\varphi(I_n-tN)=0\) i.e. \(I_n-tN\in\mathscr H\), et comme \(N\) est nilpotente \((N^n=0)\) on peut écrire \[I_n=I_n-t^nN^n=(I_n-tN)\left(\sum_{k=0}^{n-1}t^kN^k\right)=\left(\sum_{k=0}^{n-1}t^kN^k\right)(I_n-tN).\] Autrement dit \(I_n-tN\) est inversible. CQFD.