Soient \(A,B\in M_n(\mathbb R)\) telles que \(AB+A+B=0\) ; montrer que \(AB=BA\).

Barre utilisateur

[ID: 2345] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Dans \(M_n(\mathbb R)\) : \(AB+A+B=0\quad\implies AB=BA\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

\(AB+A+B=0\) implique que \((A+I_n)(B+I_n)=AB+A+B+I_n=I_n\), les matrices \(A+I_n\) et \(B+I_n\) sont respectivement inverses l’une de l’autre. Par conséquent \((A+I_n)(B+I_n)=(B+I_n)(A+I_n)=I_n\), on développe et \(AB=BA\).

Documents à télécharger

Dans \(M_n(\mathbb R)\) : \(AB+A+B=0\quad\implies AB=BA\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice