1. Montrer que \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) (resp. \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)) est compact dans \(M_n(\mathbb R)\) (resp. \(M_n(\mathbb C)\)).

  2. Décomposition polaire généralisée : montrer que \[\forall\,M\in M_n(\mathbb R)\ :\ \exists\,(O,S)\in\mathscr O_n(\mathbb R)\times\mathscr S_n^+\ \text{ telles que } M=OS,\] \[\forall\,M\in M_n(\mathbb C)\ :\ \exists\,(U,H)\in\mathscr U_n(\mathbb C)\times\mathscr H_n^+\ \text{ telles que } M=UH.\]

  3. Montrer que \[GL_n(\mathbb R)\underset{\text{top.}}{\simeq} \mathscr O_n(\mathbb R)\times\mathscr S_n^{+\star}\quad\text{ et }\quad GL_n(\mathbb C)\underset{\text{top.}}{\simeq} \mathscr U_n(\mathbb R)\times\mathscr H_n^{+\star}.\]

  4. Montrer que \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) (resp. \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)) est un sous-groupe compact maximal dans \(GL_n(\mathbb R)\) (resp. \(GL_n(\mathbb C)\)) (commencer par montrer que les valeurs propres de tout élément d’un sous-groupe compact de \(GL_n(\mathbb K)\) sont de module \(1\)).

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[ID: 2343] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Quelques propriétés topologiques de \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) et \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

  1. \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) est fermé dans \(M_n(\mathbb R)\) car \(\mathscr O_n(\mathbb R)=\varphi^{-1}(\{I_n\})\) où \(\varphi\) est l’application continue sur \(M_n(\mathbb R)\) définie par \(A\mapsto \!^tAA\). \(\vert\vert\vert.\vert\vert\vert\) étant la norme sur \(M_n(\mathbb R)\) subordonnée à la norme euclidienne \(\Vert.\Vert\) de \(\mathbb R^n\), \(A\in\mathscr O_n(\mathbb R)\) implique \(\Vert AX\Vert=1\) et par suite \(\vert\vert\vert A\vert\vert\vert=1\). \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) fermé bornée dans \(M_n(\mathbb R)\) est bien compact. La procédure est analogue pour \(\mathscr U_n(\mathbb C)\).

  2. On rappelle (voir ref. ????) que

  3. suivre......

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