Barre utilisateur

[ID: 2341] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur l’équation \(\displaystyle\sin(A)=B\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

-Solution 1 : Supposons qu’une telle matrice existe.

\(\rightsquigarrow\quad\) Si les deux valeurs propres (\(\alpha\) et \(\beta\)) de \(A\) sont distinctes, \(A\) est diagonalisable ; il existe donc \(C\in GL_n(\mathbb C)\) telle que \[B=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}=CAC^{-1},\] on à alors (car \(A^n=CB^nB^{-1}\)) \[\sin(A)=C\sin(B)C^{-1}\quad\text{et}\quad \sin(B)= \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}\begin{pmatrix}\alpha^{2n+1}&0\\0&\beta^{2n+1}\end{pmatrix}^{2n+1}=\begin{pmatrix}\sin(\alpha)&0\\0&\sin(\beta)\end{pmatrix}\] \(\sin(A)\) est donc diagonalisable ce qui est contraire à l’hypothèse.

\(\rightsquigarrow\quad\) Envisageons maintenant les cas où les valeurs propres de \(A\) sont égales. Il existe \(C\in GL_n(\mathbb C)\) telle que \[B=\begin{pmatrix}x&y\\0&x\end{pmatrix}=CAC^{-1},\] soit (en calculant \(B^n\) pour tout \(n\in\mathbb N\)) \[\sin(B)=C\sin(A)C^{-1}=\begin{pmatrix}\sin(x)&y\cos(x)\\0&\sin(x)\end{pmatrix}\] mais \(1\) est l’unique valeur propre de \(A\), donc \(\sin(x)=0\), \(\cos(x)=0\), \(B=I_2\) et finalement \(A=I_2\) ce qui est absurde.

-Solution 2 : Avec \[\cos(A)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}A^{2n}\] on vérifie que \[\sin^2(A)+\cos^2(A)=I_2\] si bien que \[\sin(A)=\begin{pmatrix}1&2005\\0&1\end{pmatrix}\] implique \[\cos^2(A)=\begin{pmatrix}0&-2.2005\\0&0\end{pmatrix}.\] Cette dernière équation implique que la matrice \(\cos^2(A)\) est nilpotente, étant de taille \(2\times 2\) elle ne peut être que nulle ce qui est absurde.