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[ID: 2339] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Points isolés des solutions de l’équation \(X^2=I_n\) dans \(M_n(\mathbb R)\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Posons \(A=\{M\in {\mathscr M}_n(\mathbb{R})\; \vert\; M^2=I_n\}\). Nous allons montrer que les points isolés de \(A\) sont \(I_n\) et \(-I_n\). Le cas \(n=1\) étant trivial, on suppose dans la suite \(n\geqslant 2\).

Soit \(M\in A\). Le polynôme \(X^2-1=(X-1)(X+1)\) étant annulateur de \(M\), la matrice \(M\) est semblable à une matrice \(\begin{pmatrix}I_p & 0\\ 0& -I_{n-p}\end{pmatrix}\) avec \(0\leqslant p\leqslant n\). On a \[\mathop{\rm tr} M=2p-n,\quad \mathop{\rm tr}M=n\Leftrightarrow M=I_n\quad \text{ et }\quad\mathop{\rm tr}M =-n \Leftrightarrow M=- I_n.\]

Soit \(\varphi\) l’application de \(A\) dans \(\mathbb{R}\) : \(M\mapsto \mathop{\rm tr}M\). L’application \(\varphi\) est continue et \(\{I_n\} =\varphi^{-1}\big(]n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}[\big)\). Ainsi, \(\{I_n\}\) est un ouvert de \(A\) et \(I_n\) est donc un point isolé de \(A\). On montre de même que \(-I_n\) est un point isolé de \(A\).

Soit \(M\in \, A\setminus \{I_n,-I_n\}\) : \(M=P\begin{pmatrix}I_p & 0\\ 0& -I_{n-p}\end{pmatrix}P^{-1}\), où \(P\in \mathop{\rm GL}_n(\mathbb{R})\) et \(1\leqslant p\leqslant n-1\). Notons \(E_{1,n}\) la matrice élémentaire dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la 1ère ligne et \(n\)-ème colonne qui vaut 1. On constate que \(M_k=P\left[\begin{pmatrix}I_p & 0\\ 0& -I_{n-p}\end{pmatrix}+\frac{1}{k}E_{1,n}\right]P^{-1}\) ( \(k\in\mathbb{N}^*\)) est élément de \(A\) et que la suite \((M_k)\) tend vers \(M\) sans prendre la valeur \(M\). Ainsi, \(M\) n’est pas isolé.

Remarque : Pour \(0\leqslant p\leqslant n\), on note \(A_p=\{M\in A\; \vert\; \mathop{\rm tr}M =2p-n\}\). On montre que les \(A_p\) sont les composantes connexes par arcs de \(A\). On utilise pour cela l’écriture \(M=P\begin{pmatrix}I_p & 0\\ 0& -I_{n-p}\end{pmatrix}P^{-1}\) et on montre qu’on peut choisir \(P\) dans \(\mathop{\rm SL}_n(\mathbb{R})\). Comme \(\mathop{\rm SL}_n(\mathbb{R})\) est connexe par arcs, \(A_p\) l’est aussi.