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[ID: 2337] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Le commutant dans \(M_2(\mathbb K)\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Soit \[A=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}{(\bigstar)}\] la décomposition de \(A\) dans la base canonique de \(M_2(\mathbb K)\).

-Si \(A\) est scalaire (i.e. \(A=\lambda I_2\) ), \(\mathscr C_A=M_2(\mathbb K)\) est donc dimension \(4\).

-Si \(A\) est diagonale mais non scalaire, on vérifie encore sans peine avec \((\bigstar)\) que \(\mathscr C_A\) est de dimension \(2\).

-Sinon, \(A\) est non scalaire et \(A\) et \(I_2\) sont libres, et \(\mathscr C_A\) est de dimension supérieure ou égale à \(2\). Supposons \(\mathscr C_A\) de dimension supérieure ou égale à \(3\). Dans \(M_2(\mathbb K)\) de dimension \(4\) il se doit de rencontrer \[\mathscr E:=\mathbb K E_{11}+\mathbb K E_{12}.\] Soit donc \[B=\alpha E_{11}+\beta E_{12}\in \mathscr E\cap\mathscr C_A,\quad (\alpha,\beta)\neq(0,0)\] en écrivant \(AB=BA\) il vient \(c=0\). De même, en considérant \(\mathscr E:=\mathbb K E_{21}+\mathbb K E_{22}\) il vient \(b=0\) soit \(A\) diagonale ce qui est absurde donc \(\text{dim}\,(\mathscr C_A)< 3\), soit \(\text{dim}\,(\mathscr C_A)=2\).

Remarques : -Pour une matrice \(A\in M_n(\mathbb K)\), la dimension du commutant de \(A\) vérifie \[n\leq \text{dim}\,(\mathscr C_A) \leq n^2\] et la dimension vaut \(n\) si, et seulement si \(A\) est cyclique (i.e. \(A\) est semblable à une matrice compagnon ou encore polynômes minimaux et caractéristiques coïncident) et \(n^2\) si et seulement si \(A\) est semblable à la matrice identité.

-La question se pose alors de savoir si la dimension du commutant peut prendre toutes les valeurs comprises entre \(n\) et \(n^2\). L’exercice que nous venons de traiter montre que la réponse à cette question est non si \(n=2\) car \(\text{dim}\,\mathscr C_A\) à priori dans \(\{2,3,4\}\) ne peut jamais être égale à \(3\). L’explication de ce phénomène est résumée dans le résultat qui suit

Car pour \(n=2\), l’entier \(3\) est le seul élément de \(\{2,3,4\}\) qui ne vérifie pas ces deux propriétés. Ce dernier résultat est délicat à établir 1 ; pour notre exercice, il est d’ailleurs plus rapide (([rms], 2000/01, ex. 15)) d’établir (c’est d’ailleurs un corollaire immédiat du précédent) que la codimension du commutant est toujours paire ce qui n’est pas le cas de l’entier \(3\) (\(4-3=1\)...).

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1. voir Carrieu, Fadel, Fieux, Lassère, Rodriguez Autour des matrices de Frobenius ou Compagnon↩︎