Soient \(c\in\mathbb R_+,\ A=((a_{i,j}))\in M_n(\mathbb C)\) vérifiant \(\vert a_{i,j}\vert\leq c\) pour tous \(1\leq i,j\leq n\). Montrer que \[\vert\text{det}(A)\vert\leq c^n n^{n/2}.\]


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[ID: 2333] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Inégalité, matrices, déterminant
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Seul le cas où \(A\in GL_n(\mathbb C)\) mérite explication. Pour une telle matrice désignons par \(C_1,\dots,C_n\) ses colonnes.

-Supposons les colonnes \((C_i)_1^n\) deux à deux orthogonales. Si \[D_i=\Vert C_i\Vert^{-1}C_i,\quad\text{et}\quad B=[D_1,\dots,D_n]\] la matrice \(B\) est orthogonale donc \(\vert\text{det}(B)\vert=1\) ; vu que \[\forall\,1\leq j\leq n\ :\ \Vert C_j\Vert=\sqrt{a_{1,j}^2+\dots+a_{n,j}^2}\leq c\sqrt{n}\] on a \[\vert \text{det}(A)\vert=\vert{det}(B)\vert\,\Vert C_1\Vert\dots\Vert C_n\Vert \leq c^n n^{n/2}.{\text{($\star$)}}\]

-Pour le cas général, appliquons le procédé d’orthonormalisation de Schmidt à la famille libre \((C_i)_1^n\) : soit \(D_1=C_1\), et \(D_2=C_2+\lambda_{2,1}C_1\) où comme toujours la constante \(\lambda_{2,1}\) est déterminée de sorte que \(D_2\) soit orthogonal à \(D_1\) i.e. \[\langle C_2,D_1\rangle+\lambda_{2,1}^2\Vert D_1\Vert^2 =0\] avec Pythagore \[\Vert D_2\Vert =\Vert C_2\Vert^2-\lambda_{2,1}^2\Vert D_1\Vert^2\leq\Vert C_2\Vert^2.\] De même \[D_k=C_k-\lambda_{k,1}D_1+\dots+\lambda_{k,k-1}D_{k-1}\] et avec \[\langle C_k,D_j\rangle+\lambda_{k,j}^2\Vert D_j\Vert^2 =0,\quad\forall\,1\leq j\leq k-1\] on a \[\begin{aligned} \Vert D_k\Vert &=\Vert C_k\Vert^2+\sum_{j=1}^{k-1}\lambda_{k,j}^2\Vert D_j\Vert^2 -2\sum_{j=1}^{k-1}\lambda_{k,j}^2\Vert D_j\Vert^2\\ &\leq \Vert C_k\Vert^2-\sum_{j=1}^{k-1}\lambda_{k,j}^2\Vert D_j\Vert^2 \leq\vert C_k\Vert^2 \end{aligned}\] soit \[\Vert D_k\Vert\leq \Vert C_k\Vert,\quad\forall\,1\leq k\leq n{\text{($\star$)}}\] puisque bien entendu \(\text{det}[C_1,\dots,C_n]=\text{det}[D_1,\dots,D_n]\) ; l’inégalité est démontrée vu (\(\star\)) et (\(\star\)).


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