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[ID: 2331] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Groupes, réduction des endomorphismes
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Pour cela considérons \[G:=\left\{\,A\in GL_n(\mathbb K)\text{ diagonales et telles que sp}(A)\subset\{-1,1\}\right\},\] c’est un sous-groupe commutatif de cardinal \(2^n\) de \(GL_n(\mathbb K)\). Supposons alors qu’il existe un isomorphisme \(\varphi\,:\,GL_n(\mathbb K)\to GL_p(\mathbb K)\). Alors \(\varphi(G)=H\) est un sous-groupe commutatif de \(GL_p(\mathbb K)\) de cardinal \(2^n\), dont les éléments sont annulés par \(X^2-1\) : ils sont donc diagonalisables à valeurs propres dans \(\{-1,+1\}\). \(\varphi(G)\) étant commutatif il est alors bien connu ([deswar]-2, prop. 55 page 220) que ses éléments sont simultanément diagonalisables i.e. \[\exists P\in GL_p(\mathbb K)\ \text{ telle que }\,\forall\,B\in\varphi(G)\ :\,P^{-1}BP\text{ est diagonale.}\] \(P^{-1}BP\) est alors diagonale à spectre dans \(\{-1,+1\}\) ce qui implique que \(2^n=\vert\varphi(G)\vert\leq 2^p\) inégalité absurde puisque \(n>p\).