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[ID: 2329] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Réduction des endomorphismes
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Le polynôme \(X^4-X^2=X^2(X-1)(X+1)\) est annulé par \(A\), le spectre de \(A\) est donc inclus dans \(\{-1,0,1\}\) et vu les hypothèses nous avons donc deux alternatives :

\(\text{Sp}(A)=\{-1,0,1\}\) et \(P_A(X)=-X(X+1)(X-1)\) est scindé à racines simples : \(A\) est diagonalisable.

\(0\) n’est pas valeur propre de \(A\) : dans ce cas \(A\in GL_3(\mathbb R)\) et alors \[A^4=A^2\Longrightarrow A^2=I_2,\] \(A\) annulée par un polynôme scindé à racines simples est encore diagonalisable (ce dernier cas correspond au cas sp\((A)=\{-1,1\}\) et donc \(P_A(X)=(X-1)^2(X+1)\text{ ou } (X-1)(X+1)^2.\)