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[ID: 2327] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Réduction des endomorphismes
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

\(A\) est annulée par \(P(X)=X^N-1\) scindé à racines simples, elle est donc diagonalisable sur \(\mathbb C\). Ses deux valeurs propres \(\lambda_1,\lambda_2\) sont racines de \(P\) donc des racines \(N\)-ièmes de l’unité. Enfin, \(A\) étant à coefficients réels, si elle admet une valeur propre non réelle : les deux seront conjuguées (\(\lambda_1=\overline{\lambda_2}\))

\(\rightsquigarrow\)Si les valeurs propres sont réelles \(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,+1\}\) et \(A\) étant diagonalisable \(A^2=I_2\).

\(\rightsquigarrow\)Sinon, elles sont conjuguées, mais \(A\) étant à coefficients dans \(\mathbb Z\) implique

\[\lambda_1+\lambda_2 =2\text{re}(\lambda_1)\in\mathbb Z\Longrightarrow 2\text{re}(\lambda_1)\in\{-2,-1,0,1,2\}.\]

On en déduit facilement que \(\lambda_1\) est racine seconde, troisième ou quatrième de l’unité, dans tous les cas \(A^{12}=I_2\).

Remarque : En résumé, l’ordre d’une matrice \(A\in GL_n(\mathbb Z)\) appartient à \(\left\lbrace 1,2,3,4,6,+\infty\right\rbrace\) et ces valeurs sont atteintes. Par exemple l’ordre des matrices ci-dessous \[\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1\\1&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1\\1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&1\\0&1\end{pmatrix}\] est respectivement \(1,2,3,4,6\) et \(+\infty\).