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[ID: 2325] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Matrices semblables, polynômes
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Il existe donc \(P\in GL_n(\mathbb C)\) telle que \(A=P^{-1}B P\), soit si \(P_1=\text{re}(P)\) et \(P_2=\text{im}(P) : (P_1+iP_2)A=B(P_1+iP_2)\) i.e. prenant parties réelles et imaginaires : \[\,P_1A=BP_1\quad \&\quad P_2A=BP_2.{(\bigstar)}\] On considère alors l’application : \(\varphi\,:\,z\in\mathbb C\mapsto\,\varphi(z)=\text{det}(P_1+zP_2)\). \(\varphi\in\mathbb C[z]\) et n’est pas identiquement nulle car \(\varphi(i)=\text{det}(P)\) : il existe donc (un polynôme non nul ne possède dans \(\mathbb C\) qu’un nombre fini de racines) \(x\in\mathbb R\) tel que \(\varphi(x)\in\mathbb R^\star\), autrement dit \(Q=P_1+xP_2\in\,GL_n(\mathbb R)\) et avec \((\bigstar)\) on a immédiatement \(A=Q^{-1}BQ\)

Remarque : c’est un cas particulier du résultat suivant :

Soit \(\mathbb L\) une extension du corps \(\mathbb K\). Soit \(M\) et \(N\in M_n(\mathbb K)\) deux matrices semblables dans \(M_n(\mathbb L)\), alors elles sont semblables dans \(M_n(\mathbb K)\) .