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[ID: 2323] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Séries entières, algèbre linéaire
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

Notons \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\) les valeurs propres de \(A\) comptées avec leur multiplicités. \(A\) est diagonalisable dans \(\mathbb C\) et pour tout entier \(k\)

\[\text{tr}(A^k)=\sum_{j=0}^d\lambda_j^k\] par conséquent, si les \(\lambda_j\) ne sont pas tous non nuls (i.e. \(A\) n’est pas nilpotente) le rayon de convergence de notre série entière est supérieur ou égal (et en fait égal) à

\[\rho:=\inf_{\lambda_j\ne 0,\,1\leq j\leq d}\ \vert\lambda_j\vert^{-1}.\]

Pour \(\vert z\vert<\rho\)

\[\begin{aligned}f(z)=\sum_{k\geq 0}\text{tr}(A^k)z^k &=\sum_{k\geq 0}\lambda_1^kz^k+\dots+\sum_{k\geq 0}\lambda_d^kz^k\\ &={1\over{1-\lambda_1z}}+\dots+{1\over{1-\lambda_dz}}\\ &={{\chi'_A(z^{-1})}\over{z\chi_A(z^{-1})}}\qquad(\bigstar)\\ \end{aligned}\]

Enfin, si \(A\) est nilpotente \(f\equiv d\) puisque \(\text{tr}(A^k)=0\,,\,\forall k\in\mathbb N^\star\) et \(\text{tr}(A^0=I_d)=d\). Dans ce dernier cas, il faut remarquer que la formule \((\bigstar)\) subsiste encore puisque \(\chi_A(z)=(-1)^dz^d\).