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[ID: 2321] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:38] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Matrice, comatrice et rang
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:38

L’identité suivante est toujours vérifiée dans \(M_d(\mathbb C)\)

\[^t\!(\text{com}(A))A=A\,^t\!(\text{com}(A))=\det(A)I_d.\] et on a aussitôt : \[\text{rang}(A)=d \quad\iff\quad \text{rang}(\,^t\!(\text{com}(A)))=d,\] dans le cas contraire le déterminant de \(A\) est nul et notre formule devient \[^t\!(\text{com}(A))A=A\,^t\!(\text{com}(A))=0\] soit, identifiant canoniquement matrice et endomorphisme

\[\left(\text{im}(^t\!(\text{com}(A)))\subset\ker(A)\right)\quad \&\quad \left(\text{im}(A)\subset\ker(^t\!(\text{com}(A)))\right)\] et par suite

\[\forall\,A\in M_d(\mathbb C)\quad\text{rang}^t\!(\text{com}(A))+\text{rang}(A)\leq d\qquad\qquad(\text{$\star$})\] \(\rightsquigarrow\quad\) Si \(\text{rang}(A)=d-1\) la matrice \(A\) admet un mineur d’ordre \(d-1\) non nul et donc la comatrice de \(A\) admet un coefficient non nul, son rang est donc supérieur ou égal à \(1\) et égal à \(1\), vu \((\text{$\star$})\). De même \(\det( A)=0\) et \(\text{rang}^t\!(\text{com}(A))\geq 1\) exigent \(\text{rang}^t\!(\text{com}(A))=1\) et \(\text{rang}(A)=d-1\).

\(\rightsquigarrow\quad\) Si \(\text{rang}(A)\leq d-2\) tous les mineurs d’ordre \(d-1\) de \(A\) sont nuls et par suite la comatrice de \(A\) est la matrice nulle, donc de rang nul et réciproquement. Résumons nous

\[\begin{cases} \text{rang}(A)=d &\quad\iff\quad \text{rang}^t\!(\text{com}(A))=d,\\ \text{rang}(A)=d-1 &\quad\iff\quad \text{rang}^t\!(\text{com}(A))=1\quad{pour }\ d\geq 2,\\ \text{rang}(A)\leq d-2 &\quad\iff\quad \text{rang}^t\!(\text{com}(A))=0. \end{cases}\]