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[ID: 2317] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Rayon spectral et décomposition de Dunford
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

Par Dunford \(A=D+N\) avec \(D\) diagonalisable de mêmes valeurs propres que \(A\), \(N\) nilpotente et \(ND=DN\). donc pour \(k\geq n\) on aura \(N^k=0\) et

\[A^k=(D+N)^k=\sum_{l=0}^kC_n^lD^{k-l}N^l=\sum_{l=0}^nC_n^lD^{k- l}N^l=D^{k-n}\sum_{l=0}^nC_n^lD^{n-l}N^l.\]

Soit, en posant \(\alpha=\sup_{0\leq l\leq n} \{\Vert D\Vert^{n-l}\Vert N\Vert^l\}\)

\[\Vert A^k\Vert\leq \Vert D\Vert^{k-n}\sum_{l=0}^nC_k^l \Vert D\Vert^{n-l}\Vert N\Vert^l\leq \alpha\Vert D\Vert^{k-n}\left(\sum_{l=0}^nC_k^l\right)\]

or, pour \(0\leq l\leq n\) et \(k\geq n\)

\[C_k^l\leq k(k-1)\dots(k-l+1)\leq k^l\leq k^n\]

si bien que

\[\Vert A^k\Vert\leq \alpha (n+1)k^n\Vert D^{k-n}\Vert\]

et

\[\rho(A)\leq\Vert A^k\Vert^{1\over k}\leq \left(\alpha(n+1)\right)^{1\over k} k^{n\over k}\Vert D^{k-n}\Vert^{1\over k},{(\bigstar)}\]

en remarquant enfin que \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\left(\alpha(n+1)\right)^{1\over k} k^{n\over k}=1\) et

\[\lim_{k\to\infty}\Vert D^{k-n}\Vert^{1\over k} =\lim_{k\to\infty}\left(\Vert D^{k-n}\Vert^{1\over k-n}\right)^{k-n\over k} =\lim_{k\to\infty} \Vert D^{k-n}\Vert^{1\over k-n} =\rho(D) =\rho(A)\]

avec \((\bigstar)\), il vient finalement \(\displaystyle\rho(A)=\lim_{k\to\infty}\Vert A^k\Vert^{1\over k}\).