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[ID: 2315] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

Dans l’espace vectoriel \(M_2(\mathbb R)\) de dimension \(4\) il n’y a qu’une alternative : ou bien la famille \(\{A,B,C\}\) est liée et il n’y a rien à démontrer, ou bien elle est libre et dans ce cas l’ensemble \[\textsf{vect}\{A,B,C\}=\{aA+bB+cC,\ (a,b,c)\in\mathbb R^3\}\] sous-espace vectoriel de dimension 3 est alors tenu, pour des raisons évidentes de dimension, de rencontrer le sous-espace \[\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a\end{pmatrix} , (a,b)\in\mathbb R^2\right\}\] de dimension \(2\) constitué de matrices à valeurs propres doubles.Le résultat suit.