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[ID: 2313] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude de \(\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

\(\varphi\) est bien entendu élément de \(\mathscr L(M_n(\mathbb R))\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(\varphi\) : il existe une matrice \(A\) non nulle telle que

\[\varphi(A)= -A+\text{tr}(A)I_n=\lambda A\]

si bien que

\[(1+\lambda)A=\text{tr}(A)I_n \qquad\qquad(\bigstar)\]

-Si la trace de \(A\) est nulle, \(\lambda\) est forcément (\(A\) est non nulle) égal à \(-1\) et réciproquement, \(\lambda=-1\) implique \(A\) de trace nulle : \(\lambda=-1\) est bien valeur propre de \(\varphi\) et son sous-espace propre associé \(E_{-1}\) est le sous-espace constitué des matrices de trace nulle, classiquement de dimension \(n^2-1\) (considérer la forme linéaire \(A\mapsto\text{tr}(A)\) et appliquer le théorème du rang)

-Si la trace de \(A\) est non nulle, \(\lambda\) est différent de \(-1\) et \((\bigstar)\) nous donne

\[A=(1+\lambda)^{-1}\text{tr}(A)I_n \quad\Longrightarrow\quad \text{tr}(A)={n\text{tr}(A)\over (1+\lambda)}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=n-1 \quad\&\quad A\in\textsf{vect}(I_n)\]

i.e. \(\lambda=n-1\) est aussi valeur propre, et le sous-espace propre associé est la droite vectorielle engendrée par \(I_n\) donc de dimension \(1\).

-En conclusion, \(\varphi\) admet deux valeurs propres \(-1\) et \(n-1\), les sous-espaces propres associés sont de dimensions respectives \(n^2-1\) et \(1\) donc de somme \(n^2=\text{dim}M_n(\mathbb R)\) et \(\varphi\) est diagonalisable (et son polynôme caractéristique \(P_{\varphi}(x)=(-1)^{n^2}(x+1)^{n^2-1}(x+1-n)\)...).