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[ID: 2311] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Polynôme minimal et dimension du noyau
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

\(\pi_\varphi(t)=t^2\), \(0\) est donc valeur propre de \(\varphi\) : \(\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)\geq 1\), de l’autre côté puisque \(\pi_\varphi(t)\ne t\), \(\varphi\) n’est pas l’endomorphisme nul i.e. \(\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)\leq 6\) et enfin \(\text{dim}\left(\ker(\varphi^2)\right)\leq 7\).

Soit \(\psi\), la restriction de \(\varphi\) à \(\ker(\varphi^2)\), par le théorème du rang :

\[\begin{aligned} \text{dim}\left(\ker(\varphi^2)\right)&=\text{dim}\left(\ker(\psi)\right)+\text{ dim}\left(\text{im}(\psi)\right) \\ &\leq \text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)+ \text{dim}\left(\ker(\varphi )\right)=2\,\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right) \end{aligned}\] \(\rightsquigarrow\) l’inégalité résultant des inclusions faciles à vérifier : \[\ker(\psi)\subset\ker(\varphi)\quad\&\quad \text{im}(\psi)\subset\ker(\varphi).\] Ainsi, nous avons \[7=\text{dim}\left(\ker(\varphi^2)\right)\leq 2\,\text{dim}\left(\ker(\varphi) \right)\ \&\ \text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)\in\{1,\dots,6\}\] soit \[\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right) \in\{4,5,6\}\] et les trois exemples ci-dessous montrent que les valeurs \(4,5,6\) sont toujours possibles (\(\{e_1,\dots,e_7\}\) désigne une quelconque base de notre espace) :

\(\rightsquigarrow\)\(\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)=6\), définir \(\varphi\) par \(\varphi(e_7)=e_6\) et \(\varphi(e_j)=0\) pour \(j<7\).

\(\rightsquigarrow\)\(\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)=5\), définir \(\varphi\) par \(\varphi(e_7)=e_5,\varphi(e_6)=e_4\) et \(\varphi(e_j)=0\) pour \(j<6\).

\(\rightsquigarrow\)\(\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)=4\), définir \(\varphi\) par \(\varphi(e_7)=e_4, \varphi(e_6)=e_3, \varphi(e_5)=e_2\) et \(\varphi(e_j)=0\) pour \(j<5\).