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[ID: 2309] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(A^5+A^3+A=3I_d\) dans \(M_d(\mathbb C)\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

Le polynôme \(p(t)=t^5+t^3+t-3\) est annulé par \(A\) donc \(\pi_A\) divise \(p\). Les valeurs propres de \(A\) sont réelles et son polynôme minimal ne possède que des racines réelles, mais \(p'(t)=5t^4+3t^2+1>0\) sur \(\mathbb R\) donc \(p\) ne possède qu’une racine réelle (il est de degré impair donc en possède au moins une mais il ne peut en avoir deux car sinon, par Rolle, \(p'\) en aurait une...) et il n’est pas difficile de voir que \(p(1)=0\) cette racine est donc \(1\), en outre \(p'(1)\ne 0\) ce n’est donc pas une racine multiple et par conséquent \(p(t)=(t-1)q(t)\) où \(q\) est sans racines réelles. \(\pi_A\) divise donc le polynôme irréductible \(t-1\) i.e. \(\pi_A(t)=t-1\) et \(A+I_d\).