Pour \(A\in M_3(\mathbb R)\), considérons l’endomorphisme

\[\varphi_A\ :\ B\in M_3(\mathbb R)\mapsto \varphi_A(B)=AB\in M_3(\mathbb R).\]

Si le déterminant de \(A\) est \(32\) et son polynôme minimal \((t-4)(t-2)\), quelle est la trace de \(\varphi_A\) ?


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[ID: 2307] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Étude de \(M_3(\mathbb R)\ni B\mapsto AB\)
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

\(\pi_A(t)=(t-4)(t-2)\) est scindé à racines simples : \(A\) est diagonalisable et admet comme valeurs propres \(4\) et \(2\) de multiplicités respectives \(\alpha\) et \(\beta\) ; le déterminant est donc \(\text{det}(A)=32=2^\alpha4^\beta\) soit \(\alpha=1\) et \(\beta=2\) (le polynôme caractéristique de \(A\) est \(P_A(t)=-(t-4)^2(t-2)\)...). Soit \(\{v_1,v_2,v_3\}\) une base de vecteurs propres de \(A\) avec \(\ker(A-4I_3)=\text{vect}\{v_1,v_2\},\ \ker(A-2I_3)=\text{vect}\{v_3\}\) et considérons les neuf matrices \(E_{i,j}\in M_3(\mathbb R)\ 1\leq i,j\leq 3\) définies comme suit : la ième colonne de la matrice \(E_{i,j}\) est \(v_j\) les deux autres colonnes sont constituées de zéros. Les vecteurs \(v_1,v_2,v_3\) formant une base de \(\mathbb R^3\), les neuf matrices \(E_{i,j}\) sont linéairement indépendantes dans \(M_3(\mathbb R)\) : c’est donc une base de \(M_3(\mathbb R)\). Par ailleurs ce sont des vecteurs propres de \(\varphi_A\) car un calcul élémentaire nous montre que \(\varphi_A(E_{i,j})=A E_{i,j}=\lambda_j E_{i,j}\) avec \(\lambda_1=\lambda_2=4\) et \(\lambda_3=2\). Ainsi \(M_3(\mathbb R)\) possède une base de vecteurs propres : \(\varphi_A\) est donc diagonalisable et sa trace est \(\text{trace}(A)=6 .4+3. 2=30.\)


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