Quelques démontrations du Théorème de Cayley-Hamilton \[\forall\,A\in M_n(\mathbb C)\quad:\quad P_A(A)=0.\]

  1. Déduire de la densité de l’ensemble des matrices diagonalisables \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) dans \(M_n(\mathbb C)\) le théorème de Cayley-Hamilton.

  2. Si \(x\in {\Bbb C}^n\setminus \{0\}\) le plus petit sous espace stable par \(\varphi\) (l’endomorphisme associé à \(A\)) contenant \(x\) admet une base de la forme \(\{x,\varphi (x),\cdots ,\varphi ^{k-1}(x)\}\). En la complétant et calculant le polynome caractéristique de \(\varphi\) dans cette base vérifier que : \(P_A(\varphi )(x)\,=\,0.\)

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[ID: 2305] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Encore deux démonstrations du Théorème de Cayley-Hamilton
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

  1. Si \(A\in M_n(\mathbb C)\) est diagonalisable, il existe \(G\in GL_n(\mathbb C)\) telle que

    \[A=G \begin{pmatrix} \lambda_1&0&\dots&0\\ 0&\lambda_2&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&\lambda_n \end{pmatrix} G^{-1}\]

    si bien que

    \[P_A(A)=G \begin{pmatrix} P_A(\lambda_1)&0&\dots&0\\ 0&P_A(\lambda_2)&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&P_A(\lambda_n) \end{pmatrix} G^{-1}=0.\]

    L’application continue

    \[M_n(\mathbb C)\ni M\mapsto P_M(M)\in M_n(\mathbb C)\]

    est donc nulle sur \(\mathscr D_n(\mathbb C)\), partie dense de \(M_n(\mathbb C)\) (c.f. exercice 69) : elle est donc identiquement nulle.

  2. On cherche à montrer que \(P_A(A)x=0\) pour tout vecteur \(x\). Soit donc \(x\) un vecteur non nul de \(\Bbb{C}^n\) (si \(x=0\) il n’y a rien à démontrer), notons \(\mathscr{E}_x\) le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace stable par \(A\) de \(\Bbb{C}^n\) contenant \(x\). \(\mathscr{E}_x\) est de dimension \(1\leq d\leq n\), et admet pour base \(\{ x,Ax,\dots ,A^{d-1}x \}.\)

    Il existe donc \(a_{n-1},\dots ,a_1,a_0\) dans \(\Bbb C\) tels que

    \[A^{d}x \ =\ a_{d-1}A^{d-1}x+\dots +a_1Ax+a_0x.{(\bigstar )}\]

    Complétons alors la famille libre \(\{x,Ax,\dots ,A^{d-1}x\}\) pour obtenir une base de \(\Bbb C ^n\) de la forme

    \[\{ x,Ax,\dots ,A^{d-1}x,e_{d+1},\dots ,e_n \}\]

    Dans cette base la matrice \(A\) est de la forme \[\begin{pmatrix} C_P&?\\ 0& B \end{pmatrix}\] où \(B \in M_{n-d}(\Bbb {C})\) et \(C_P\) est la matrice compagnon du polynôme \(P(X) \,=\,X^{d}-a_{d-1}X^{d-1}-\dots -a_1X-a_0\ \ \) i.e. :

    \[C_P \ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}.\] on a donc \(P_A(X) = P_{C_P}(X)P_B(X)\), mais alors

    \[\begin{aligned} P_A(A)x &= P_{C_P}(A)P_B(A)x \\ &= P_B(A)P_{C_P}(A)x \\ &= P_B(A)(A^{d}x - a_{d-1}A^{d-1}x-\dots -a_1Ax-a_0x )= 0 \ \text{ vu}\quad (\bigstar ) \end{aligned}\]

    dans la seconde inégalité les deux endomorphismes \(P_{C_P}(A)\) et \(P_B(A)\) commutent légitimement comme polynômes en \(A\). Ainsi \(P_A(A)x=0,\ \forall x\in \Bbb C^n\) i.e. \(P_A\equiv 0\).

    - on notera l’extrême simplicité de cette dernière preuve (niveau première année) qui est valable dans un contexte bien plus général que la précédente.

    - Pour une autre démonstration moins classique voir l’exercice 94 et pour un joli bestiaire de preuves de Cayley-Hamilton consulter /httpblabla?????????

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