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[ID: 2299] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Autour du commutant
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:15

Si on désigne par \(T\) l’endomorphisme \(M\mapsto\,{ }^t\!M\) de \(M_n(\mathbb R)\), \(\mathscr E\) n’est rien d’autre que le commutant de \(T\) et c’est donc une sous-algèbre de \(\mathscr L\left( M_n(\mathbb R)\right)\). Soit \(\mathscr S_n\) (resp. \(\mathscr A_n\)) l’espace vectoriel des matrices symétriques (resp. antisymétrique). Puisque \(M_n(\mathbb R)=\mathscr S_n\oplus\mathscr A_n\), un endomorphisme \(\varphi\) vérifiant \(\varphi\circ T=T\circ\varphi\) doit laisser stable les deux sous-espaces propres de \(T\) que sont \(\mathscr S_n\) et \(\mathscr A_n\). Mais inversement, un endomorphisme laissant stable \(\mathscr S_n\) et \(\mathscr A_n\) satisfait (avec les notations évidentes) à \[{ }^t\!\varphi(B)={ }^t\!\varphi(S+A)={ }^t\!\varphi(S)+{ }^t\!\varphi(A)=\varphi(S)-\varphi(A)=\varphi(S-A)=\varphi\left( { }^t\!(S+A)\right) =\varphi({ }^t\!B)\] ce qui montre que \(\varphi\in\mathscr E\). L’algèbre \(\mathscr E\) est donc constituée des endomorphisme de \(M_n(\mathbb R)\) qui laissent stable les sous-espaces \(\mathscr S_n\) et \(\mathscr A_n\). Il existe donc un isomorphisme évident \[\mathscr E\longrightarrow \mathscr L(\mathscr S_n)\times\mathscr L(\mathscr A_n)\] qui à \(\varphi\) associe le couple \(\left(\varphi_{/\mathscr S_n},\varphi_{/\mathscr A_n} \right)\). Il en résulte que \[\text{dim}(\mathscr E)=\left( \dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2+\left( \dfrac{n(n-1)}{2}\right)^2=\dfrac{n^2(n^2+1)}{2}.\]

Remarque : on retrouve dans la dernière formule le résultat connu mais plus délicate à établir, à savoir que la dimension du commutant est toujours une somme de carrés \(p_1^2+\dots +p_k^2\in\left\lbrace d,d+1,\dots, d^2\right)\) (ici \(d=n^2\)) telle que \(p_1+\dots+p_k=d\).