Barre utilisateur

[ID: 2297] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:15] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Histoire de matrices nilpotentes
Par Patrice Lassère Emmanuel Vieillard-Baron le 7 novembre 2022 22:15

La réponse est oui si \(n\leqslant 2\), non si \(n>2\).

-Si \(n=1\): c’est clair. Si \(n=2\), on a \((BA)^3=B(AB)^2A=0\) donc \(BA\) est nilpotente; comme elle est de taille \(2\), son indice est inférieur à \(2\) i.e. \((BA)^2=0\).

-Pour \(n=3\), \(BA\) est nilpotente d’indice au plus \(3\) et \(AB\) d’indice de nilpotence au plus \(2\). On va chercher \(A,B\) pour que \(AB\) soit d’indice \(2\) et \(BA\) soit d’indice \(3\) et plus précisément telles que, par exemple, \[BA=N=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}.\] Comme \(\mathop{\rm Ker}(A)\) doit être une droite (\(A\) n’est pas inversible et de rang supérieur à celui de \(N\), donc de rang \(2\)) incluse dans le noyau de \(N=BA\), \(\mathop{\rm Ker}(A)\) est engendré par \((1,0,0)\). De même \(\mathop{\rm Im}(B)\) doit être un plan qui doit contenir l’image de \(N\) i.e. le plan engendré par \((1,0,0)\) et \((0,1,0)\).

On est donc amené à chercher sous les formes \(A=\begin{pmatrix} 0&a&a'\\ 0&b&b'\\ 0&c&c'\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} d&e&f\\ d'&e'&f'\\ 0&0&0\end{pmatrix}\). Un peu de calcul montre que \(A=\begin{pmatrix} 0&1&0\cr 0&0&1\cr 0&0&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\) conviennent.

-Pour \(n>3\) il suffit de border les matrices précédentes par des zéros.