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[ID: 2295] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:14] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une équation matricielle dans \(M_2(\mathbb C)\)
Par Patrice Lassère Emmanuel Vieillard-Baron le 7 novembre 2022 22:14

Supposons qu’il existe \(r\geq 2\) et \(A\in M_2(\mathbb C)\) tels que \(A^r=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}\). Alors \(A^{2r}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}\), et le polynôme caractéristique \(\chi_A(x)=ax^2+bx+c\) de \(A\) divise donc \(x^{2r}\) ; ceci implique \(c=b=0\), soit \(\chi_A(x)=x^2\) et (Cayley-Hamilton) \(A^2=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}\). Ainsi (comme \(r\geq 2\)) \[\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix}=A^r=A^2A^{r-2}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}\] ce qui est absurde : cette équation est bien sans solutions.