Soient \(A=\begin{pmatrix} 1&a\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b&c\\0&b\end{pmatrix},\ C\in M_2(\mathbb R)\). À quelle condition la matrice \(\begin{pmatrix} A&C\\0&B\end{pmatrix}\) est-elle diagonalisable ?


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[ID: 2293] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:14] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Matrices et réduction
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:14

Le résultat suivant est essentiel : soit \(M\in M_n(\mathbb K)\) une matrice donc le polynôme caractéristique est scindé et s’écrit \(\chi_M=(X-\lambda_1)^{\alpha_1}\dots (X-\lambda_d)^{\alpha_d}\) où les \(\lambda_i\) sont les valeurs propres deux à deux distinctes de \(M\) de multiplicités \(\alpha_i\in\mathbb N^\star\). Alors \(M\) est diagonalisable si, et seulement si, \(M\) annule \((X-\lambda_1)\dots (X-\lambda_d)\).

Ici \(\chi_M=(X-1)^2(X-b)^2\). Distinguons deux cas :

-Si \(b=1\). \(M\) est diagonalisable si, et seulement si, \(M=I_4\) soit \(a=c=0\) et \(C=0\).

-Si \(b\neq 1\). Dans ce cas, \(M\) est diagonalisable si, et seulement si, \((M-I_4)(M-bI_4)=0\). Un calcul direct montre que cette dernière condition équivaut à \(a=c=0\). En résumé, \(M\) est diagonalisable si, et seulement si \[\left(\,a=c=0\,\right)\quad\text{et}\quad \left(\,b\neq 1\ \text{ ou }\ C=0\right).\]


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