Soient \(E_1,E_2\) deux sous-espaces de \(\mathbb R^{10}\) vérifiant \[E_1\subset E_2,\quad \dim_\mathbb R E_1=3,\quad \dim_\mathbb R E_2=6.\] Déterminer la dimension du sous espace \(\mathscr E\) de \(\mathscr L(\mathbb R^{10})\) définit par \[\mathscr E=\left\lbrace T\in\mathscr L(\mathbb R^{10})\ : \ T(E_1)\subset E_1\ \&\ T(E_2)\subset E_2\right\rbrace .\]

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[ID: 2291] [Date de publication: 7 novembre 2022 22:14] [Catégorie(s): Algèbres bilinéaire et hermitienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Dimension, bases et applications linéaires
Par Patrice Lassère le 7 novembre 2022 22:14

Compétons une base \(\{e_1,e_2,e_3\}\) de \(E_1\) pour obtenir une base \(\{e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6\}\) de \(E_2\) ; enfin, complétons la encore une fois pour obtenir une base \(\mathscr B=\{e_1,\dots,e_{10}\}\) de \(\mathbb R^{10}\). Avec ce choix, la matrice d’un endomorphisme \(T\in\mathscr E\) sera de la forme \[{\rm{mat}}(T,\mathscr B)=\begin{pmatrix} ?&?&?&?&?&?&?&?&?&?\\ ?&?&?&?&?&?&?&?&?&?\\ ?&?&?&?&?&?&?&?&?&?\\ 0&0&0&?&?&?&?&?&?&?\\ 0&0&0&?&?&?&?&?&?&?\\ 0&0&0&?&?&?&?&?&?&?\\ 0&0&0&0&0&0&?&?&?&?\\ 0&0&0&0&0&0&?&?&?&?\\ 0&0&0&0&0&0&?&?&?&?\\ 0&0&0&0&0&0&?&?&?&?\\ \end{pmatrix}\] et par conséquent \(\dim_\mathbb R\mathscr E= 9+18+40=67\).

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