Une roue de rayon \(b\) roule sans glisser sur une roue de rayon \(a\). Déterminer le lieu d’un point de la circonférence de la roue de rayon \(a\).


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[ID: 2194] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:19] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1060
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:19

Dans un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0, \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath})\), la roue de rayon \(a\) est centrée en \(O\), et la roue de rayon \(b\) est centrée en \(C\). Notons \(P\) l’intersection des deux roues, et \(M\) le point de la circonférence. En notant \(t\) l’angle \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{OP})\), \(\alpha\) l’angle \((\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{CM})\) et \(\gamma\) l’angle \((\overrightarrow{CP}, \overrightarrow{CM})\), on a les relations \[t + \gamma - \alpha = \pi\] La condition de roulement sans glissement s’écrit \[at = b\gamma\] Donc si \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du point \(M\), \[\begin{cases} x = (a+b)\cos t - b \cos\bigl( (a+b)/b t \bigr) \\ y = (a+b)\sin t - b \sin\bigl( (a+b)/b t \bigr) \end{cases}\]


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