On considère le cercle \[\mathcal{C}: x^2 + y^2 = 1\] et le point \(A \underset{ }{\left|\begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix}\right.}\). Déterminer le lieu des projections orthogonales de \(A\) sur les tangentes au cercle.


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[ID: 2192] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Limaçon de Pascal
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18

Un point du cercle a pour coordonnées \(M(t) \underset{ }{\left|\begin{matrix} \cos t \\ \sin t \end{matrix}\right.}\) et la tangente en \(M(t)\) a pour équation cartésienne \[T_t:~ \cos t x + \sin t y = 1\] Le projeté orthogonal \(P(t)\) de \(A\) sur \(T_t\) vérifie \(P \underset{ }{\left|\begin{matrix} x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.}= A + \lambda \overrightarrow{OM(t)}\) et on trouve que \[\begin{cases} x(t) &= -2 + (1+2\cos t)\cos t \\ y(t) &= (1+2\cos t) \sin t \end{cases}\] En effectuant un changement de repère de centre \(A\) (\(X = x + 2\), \(Y = y\)), puisque \(t\) est l’angle entre \((Ox)\) et \(AP(t)\), on a une équation polaire de la courbe décrite par \(P\) : \[\rho = 1 + 2\cos \theta\] qu’on étudie.

  1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude. La fonction \(\rho\) est paire et \(2\pi\)-périodique. On travaillera sur \(I=\left[0,\pi\right]\) et on déduire la partie manquante de la courbe par une symétrie d’axe \(\left(Ox\right)\).

  3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-2\sin \theta\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que le seul point de \(I\)\(\rho\) s’annule est \(2\pi/3\). La courbe présente un vecteur tangent orthoradial en \(0\) et \(\pi\).

    Remarquons que la courbe passe par le pôle quand \(\theta=2\pi/3\).

  4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude des branches infinies. La courbe ne présente pas de branche infinie.

  6. Représentation graphique.

C’est un limaçon de Pascal.


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