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[ID: 2192] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Limaçon de Pascal
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 23 novembre 2021 14:18

Un point du cercle a pour coordonnées \(M(t) \underset{ }{\left|\begin{matrix} \cos t \\ \sin t \end{matrix}\right.}\) et la tangente en \(M(t)\) a pour équation cartésienne \[T_t:~ \cos t x + \sin t y = 1\] Le projeté orthogonal \(P(t)\) de \(A\) sur \(T_t\) vérifie \(P \underset{ }{\left|\begin{matrix} x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.}= A + \lambda \overrightarrow{OM(t)}\) et on trouve que \[\begin{cases} x(t) &= -2 + (1+2\cos t)\cos t \\ y(t) &= (1+2\cos t) \sin t \end{cases}\] En effectuant un changement de repère de centre \(A\) (\(X = x + 2\), \(Y = y\)), puisque \(t\) est l’angle entre \((Ox)\) et \(AP(t)\), on a une équation polaire de la courbe décrite par \(P\) : \[\rho = 1 + 2\cos \theta\] qu’on étudie.

1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

2. Restriction de l’intervalle d’étude. La fonction \(\rho\) est paire et \(2\pi\)-périodique. On travaillera sur \(I=\left[0,\pi\right]\) et on déduire la partie manquante de la courbe par une symétrie d’axe \(\left(Ox\right)\).

3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-2\sin \theta\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que le seul point de \(I\) où \(\rho\) s’annule est \(2\pi/3\). La courbe présente un vecteur tangent orthoradial en \(0\) et \(\pi\).

   

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   Remarquons que la courbe passe par le pôle quand \(\theta=2\pi/3\).

4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

5. Étude des branches infinies. La courbe ne présente pas de branche infinie.

6. Représentation graphique.

   

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C’est un limaçon de Pascal.