Construire la courbe \[\rho=1+\dfrac{1}{\theta-2}\]


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[ID: 2190] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1058
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(I=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude. La courbe ne présente pas de symétrie évidente.

  3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-1/(\theta-2)^2\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que le seul point de \(I\)\(\rho\) s’annule est \(1\). On en déduit les variations de \(\rho\) :

    Remarquons que la courbe passe par le pôle quand \(\theta=1\).

  4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude des branches infinies. La courbe présente des branches infinies quand \(\theta\rightarrow \pm \infty\) et quand \(\theta\rightarrow 2\).

    • Quand \(\theta \rightarrow \pm \infty\) : comme \(\rho\left(\theta\right)\xrightarrow[\theta\rightarrow \pm \infty]{} 1\), la courbe admet le cercle unité comme cercle asymptote. Elle est à l’intérieur du cercle quand \(\theta\rightarrow -\infty\) et à l’extérieur quand \(\theta\rightarrow +\infty\).

    • Quand \(\theta \rightarrow 2\) : on étudie la quantité \(y\left(\theta\right)/x\left(\theta\right)\) : \[\dfrac{y\left(\theta\right)}{x\left(\theta\right)}=\dfrac{\rho\left(\theta\right)\sin \theta}{\rho\left(\theta\right)\sin \theta}=\tan \theta \xrightarrow[\theta\rightarrow 2]{}\tan 2.\] On forme maintenant la quantité : \[y\left(\theta\right)-\tan 2 x\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\left(\sin \theta - \tan 2 \cos \theta\right)=\rho\left(\theta\right)\dfrac{\sin \theta\cos 2 - \sin 2\cos \theta }{\cos 2}=\dfrac{1}{\cos 2}\left(\sin \left(\theta-2\right) + \dfrac{\sin \left(\theta-2\right)}{\theta-2}\right) .\] En utilisant la limite usuelle \(\sin x/x\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\), on montre que \(y\left(\theta\right)-\tan 2 x\left(\theta\right)\xrightarrow[x\rightarrow 2]{} 1/\cos 2\). La droite \(y=\tan 2 x +1/\cos 2\) est donc asymptote à la courbe quand \(\theta\rightarrow 2\).

  6. Représentation graphique.


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