Construire la courbe \[\rho=\dfrac{\sin3\theta}{\sin\theta}\]


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[ID: 2188] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Trisectrice de Ceva
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition. La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z}\). Mais en utilisant la trigonométrie, on montre que \(\forall \theta \in \mathbb{R},\quad \sin 3\theta=4\sin \theta\cos^2\theta-\sin\theta\) donc \(\forall \theta\in \mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z},\quad \rho\left(\theta\right)=4\cos^2 \theta -1\) et \(\rho\) se prolonge par continuité en chaque point de \(\pi\mathbb{Z}\). On travaille donc sur \(\mathbb{R}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude. \(\rho\) est \(2\pi\) périodique et on travaille alors sur un intervalle de longueur \(2\pi\). Mais \(\forall \theta\in\mathbb{R},\quad \rho\left(\theta+\pi\right)=\rho\left(\theta\right)\) donc on peut travailler sur un intervalle de longueur \(\pi\). Enfin, comme \(\rho\) est paire, son support admet une symétrie d’axe \(\left(Ox\right)\) et on étudie la courbe sur \(I=\left[0,\pi/2\right]\).

  3. Variations. Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right)=-8\sin\theta\cos\theta=-4\sin\left(2\theta\right)\). Donc \(\rho'\) est négative sur \(I\). On calcule facilement que les seuls points de \(I\)\(\rho\) s’annule sont \(0\) et \(\pi/2\). Par ailleurs, le seul point de \(I\)\(\rho\) s’annule est \(\pi/3\). On en déduit les variations de \(\rho\) :

    La courbe présente un vecteur tangent orthoradial en \(\theta=0\) et en \(\theta=\pi/2\).

  4. Étude du point stationnaire. La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude de la branche infinie. La courbe ne présente pas de branche infinie.

  6. Représentation graphique.

    Il s’agit de la trisectrice de Ceva.


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