Construire la courbe \[\rho=1-\tan2\theta\]


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[ID: 2186] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1056
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition : Le domaine de définition de \(\rho\) est \(D_\rho= \mathbb{R} \setminus \left\{\pi/4 +k\pi/2 ~|~ k\in \mathbb{Z}\right\}\).

  2. Restriction du domaine d’étude : Comme \(\tan\) est \(\pi\) périodique, \(\rho\) est \(\pi/2\) périodique et il suffit de travailler sur un intervalle de longueur \(\pi/2\) On travaillera sur \(I=\left[0,\pi/2\right]\setminus\left\{\pi/4\right\}\).

  3. Variations de \(\rho\) : Pour tout \(\theta\in I\), \(\rho'\left(\theta\right) = 2\left(1+\tan^2 2\theta\right)\) donc \(\rho\) est croissante sur \(\left[0,\pi/4\right[\) et sur \(\left]\pi/4,\pi/2\right]\).

  4. Point stationnaire : La courbe ne présente pas de point stationnaire.

  5. Étude de la branche infinie : lorsque \(\theta \rightarrow \pi /4\). Un point de la courbe a pour coordonnées \(M\left(\theta\right)=\left(x\left(\theta\right),y\left(\theta\right)\right)\)\(x\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\cos \theta\) et \(y\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\sin \theta\). On calcule \(y\left(\theta\right)/x\left(\theta\right)=\tan \theta \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}1\). Puis \[\begin{aligned} y\left(\theta\right)-x\left(\theta\right)&=&\dfrac{\left(\cos 2\theta-\sin 2\theta\right)\left(\sin\theta - \cos \theta \right)}{\cos 2\theta}\\ &=&-2\dfrac{\cos\left(2\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\cos\left(\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)}{\cos 2\theta}\\ &=&-\cos\left(2\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\dfrac{\cos\left(\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)-\cos{\scriptstyle \pi\over\scriptstyle 2 }} {\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} }\dfrac{2\theta-2{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}}{\cos\left(2\theta-\cos{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 4}\right)} \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}\dfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}\] en reconnaissant deux taux d’accroissement. Donc la droite \(y=x+\sqrt 2/2\) est asymptote à la courbe quand \(\theta\rightarrow \pi/ 4\). Si on sait utiliser les équivalents, c’est un peu plus simple :

    \[\cos\left(\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)=\sin\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-\theta\right)\underset{\theta \rightarrow \pi/4 }{\sim} {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}-\theta \quad \textrm{ et} \quad\cos 2\theta = \sin\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} -\theta\right)\underset{\theta\rightarrow \pi/4}{\sim} {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-2\theta\] donc par produit d’équivalents : \[y\left(\theta\right)-x\left(\theta\right)\underset{\theta \rightarrow \pi/4}{\sim} -\cos\left(2\theta+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}\right)\xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}\dfrac{\sqrt2}{2} .\] On en déduit de plus la position de la courbe par rapport à l’asymptote, elle est en dessous quand \(\theta\rightarrow \pi/4^-\) et au dessus quand \(\theta\rightarrow \pi/4^+\).

  6. Représentation graphique :


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