Construire la courbe paramétrée \[\rho = \dfrac{\sin\theta}{\sin\theta - \cos\theta}\]


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[ID: 2184] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1055
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  • Domaine de définition : Le domaine de définition de \(\rho\) est \(D_\rho= \mathbb{R} \setminus \{\pi/4 + k\pi; k \in \mathbb{Z} \}\) ; Remarquons que \[\forall \theta\in D_\rho,\quad \rho\left(\theta\right)=-\dfrac{ \sqrt 2}{2}\dfrac{\sin \theta}{\cos \left(\theta+\pi/4\right)}.\]

  • Restriction du domaine d’étude : Soit \(\theta\in D_\rho\).

    • \(\rho(\theta + 2\pi) = \rho(\theta)\), donc \(M(\theta + 2\pi) = M(\theta)\). On n’étudie la courbe que sur un intervalle de la forme \([\alpha, \alpha + 2\pi]\).

    • \(\rho(\theta + \pi) = \rho(\theta)\) : le point \(M(\theta + \pi)\) est le symétrique du point \(M(\theta)\) par rapport à l’origine. Il suffit de faire l’étude sur l’intervalle \(I=[0, \pi]\setminus\left\{\pi/4\right\}\) et de compléter la courbe par une symétrie par rapport au pôle.

  • Variations de \(\rho\) : Pour tout \(\theta\in I\) \[\rho'\left(\theta\right) = -\dfrac{1}{\left(\cos \theta - \sin \theta\right)^2}\] donc \(\rho\) est décroissante sur \(\left[0,\pi/4\right[\) et sur \(\left]\pi/4,\pi\right]\).

  • Point stationnaire : \(\rho\) s’annule en \(\theta = 0\) ou en \(\theta=\pi\) en changeant de signe. Le passage au pôle correspond à un point ordinaire à tangente horizontale.

  • Étude de la branche infinie : lorsque \(\theta \rightarrow \pi /4\). Un point de la courbe a pour coordonnées \(M\left(\theta\right)=\left(x\left(\theta\right),y\left(\theta\right)\right)\)\(x\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\cos \theta\) et \(y\left(\theta\right)=\rho\left(\theta\right)\sin \theta\). On calcule \(y\left(\theta\right)/x\left(\theta\right)=\tan \theta \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}1\). Puis \[y\left(\theta\right)-x\left(\theta\right)=\dfrac{\sin \theta\left( \sin \theta-\cos \theta\right) }{\sin\theta - \cos\theta}=\sin\theta \xrightarrow[\theta\rightarrow \pi/4]{}\dfrac{\sqrt 2}{2}\] donc la droite \(y=x+\sqrt 2/2\) est asymtote à la courbe quand \(\theta\rightarrow \pi/ 4\). On aurait aussi pu procéder ainsi : on fait l’étude dans le repère polaire \(\mathcal{R}_{\pi/4}\). Dans ce repère, le point \(M(\theta)\) a pour ordonnée \(Y(\theta) = \rho(\theta)\sin(\theta - \pi/4)\), et en posant \(h = \theta - \pi/4\), on trouve que \[\tild{Y}(h) = Y(\pi/4 + h) = \cos h (1 + \tan h) = 1 + h + o(h)\] Par conséquent, il y a une droite asymptote horizontale, d’équation \(Y=1\) dans le repère polaire \(\mathcal{R}_{\pi/4}\), et lorsque \(\theta \rightarrow {\pi/4}^{-1}\), la courbe arrive sous l’asymptote, et lorsque \(\theta \rightarrow {\pi/4}^+\), elle arrive au dessus.

  • Représentation graphique :


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