Tracer la courbe polaire \(\rho = 1 + \tan {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\). On précisera les coordonnées du point double.


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[ID: 2180] [Date de publication: 23 novembre 2021 14:18] [Catégorie(s): Courbes en coordonnées polaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1053
Par emmanuel le 23 novembre 2021 14:18
  1. Domaine de définition de \(\rho\) : La fonction \(\rho\) est définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{(2k+1)\pi; k \in \mathbb{Z} \}\).

  2. Restriction de l’intervalle d’étude : Puisque \(\rho(\theta + 2\pi) = \rho(\theta)\), \(M(\theta + 2\pi) = M(\theta)\) et il suffit donc de faire l’étude sur \([0, 2\pi]\).

  3. Tableau de signe de \(\rho\) : Il est clair que \(\rho\) est croissante, et s’annule en \(3\pi/2\).

  4. Passage au pôle : le passage au pôle correspond à un point ordinaire, à tangente verticale (\(\rho\) change de signe).

  5. Branche infinie : lorsque \(\theta \rightarrow \pi\). Il y a une direction asymptotique horizontale. Pour chercher une droite asymptote, étudions \(y(\theta) = \rho(\theta) \sin\theta\). En posant \(u = \theta - \pi\), \(\tild{y}(u) = y(\pi + u) = -\sin u + 2\cos^2 (u/2) = 2 - u + o(u)\). La droite d’équation \(y=2\) est donc asymptote à la courbe, et lorsque \(\theta \rightarrow \pi^{-}\), la courbe arrive sur l’asymptote, et lorsque \(\theta \rightarrow \pi^{+}\), la courbe arrive sous l’asymptote.

  6. Point double : On voit sur le dessin que le point double vérifie \(M(\theta_1) = M(\theta_1 + \pi)\) avec \(\theta_1 \in [0, \pi/2]\), c’est-à-dire \[\rho(\theta_1) = - \rho(\theta_1 + \pi)\] En posant \(t = \tan(\theta_1/2)\), on obtient \[t^2 + 2t - 1 = 0\] c’est-à-dire \(t = \sqrt{2} - 1\) (pour avoir \(\theta_1 \in [0, \pi/2]\). Alors si le point double a pour coordonnées \(M=(x_1, x_2)\), on trouve, puisque \(\rho(\theta_1) = \sqrt{2}\), que : \[x_1 = \rho(\theta_1)\cos(\theta_1) = \sqrt{2}\dfrac{1-t^2}{1+t^2} = 1\] \[y_1 = \rho(\theta_1)\sin(\theta_1) = \sqrt{2}\dfrac{2t}{1+t^2} = 1\] Donc le point double est \(M=(1,1)\).

  7. Représentation graphique :


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