On considère une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) de colonnes \((A_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\). On définit à partir des colonnes de \(A\), la matrice \(B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) de vecteurs colonnes \((B_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) où : \[B_i = \sum_{j \neq i} A_i.\] Exprimez le déterminant de la matrice \(B\) en fonction du déterminant de la matrice \(A\).


Barre utilisateur

[ID: 2177] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 517
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37

Qui dit opérations sur les colonnes dit multiplication à droite par une matrice. Quelle matrice ? Il suffit pour cela de prendre \(A=I_n\). On voit ainsi que \(B = AC\) avec \(C= J - I_n\)\(J\) est la matrice qui ne comporte que des \(1\). Pour calculer \(\mathop{\rm det}C\) le plus simple est de calculer \(P(\lambda) = \mathop{\rm det}(C-\lambda I_n) = (-1)^n\lambda^{n-1}(\lambda-n)\) puis de faire \(\lambda = 1\). C’est cette méthode qui sera employée l’an prochain lorsqu’on saura calculer les polynômes caractéristiques. En attendant on va utiliser le même principe : "Plus une expression comporte de variables et plus elle est facile à évaluer". Ici on calcule le déterminant de la matrice \(M_h\) qui comporte des zéros sur la diagonale, \(1\) au-dessus et \(1+h\) au-dessous. On prendra alors la valeur en \(h=0\) de ce polynôme en \(h\). Enfin on calcule \(F(x) = \mathop{\rm det}(M_h-x J)\) (on soustrait \(x\) à tous les éléments).
D’abord \(F\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\). Maintenant on soustrait la première colonne à toutes les autres. Les \(x\) disparaissent des \(n-1\) dernières colonnes. De ce fait \(F\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(1\). \(F\) est donc déterminé par deux valeurs, \(1\) et \(1+h\). C’est ça l’idée d’introduire ce \(1+h\). Donc \(F(1) = (-1)^n\) comme déterminant d’une matrice triangulaire. De même \(F(1+h) = (-1-h)^n\). Enfin \(\dfrac{F(1)-F(0)}{1} = \dfrac{F(1+h)-F(1)}{h}\), d’où \(F(0) = (-1)^n \left( 1 - \dfrac{(1+h)^n-1}{h}\right)\). On fait ensuite tendre \(h\) vers \(0\), soit en dérivant soit par la formule du binôme, pour trouver \(F(0) = (-1)^n (1-n)\) comme annoncé.


Documents à télécharger