On considère un système \((f_1,\dots, f_n)\) de fonctions de \(\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) qui est libre dans \(\mathcal{F}\left(\mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\). Montrer qu’il existe \(n\) réels \((x_1,\dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n}\) tels que la matrice \(A = ((f_i(x_j))) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) soit inversible.


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[ID: 2175] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 221
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37

Par récurrence. Si \(n = 1\), le résultat est clair. Supposons la propriété vraie pour un système de \(n-1\) fonctions. Puisque \((f_1,\dots, f_{n-1})\) est libre, d’après l’hypothèse de récurrence, il existe \(n-1\) réels \((x_1,\dots, x_{n-1})\) tels que la matrice \(A_{n-1} = ((f_i(x_j)))_{1\leqslant i, j \leqslant n - 1}\) soit inversible. Par l’absurde, supposons que \(\forall x \in \mathbb{R}\), la matrice \[A(x) = \begin{pmatrix} f_1(x_1) & \dots & f_{1}(x_{n-1}) & f_1(x) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f_n(x_1) & \dots & f_n(x_{n-1}) & f_n(x) \end{pmatrix}\] ne soit pas inversible. En développant \(\mathop{\rm det}(A)\) par rapport à la dernière colonne, on trouve alors que \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ \Delta_{1n}f_1(x) + \dots + \Delta_{nn}f_n(x) = 0\] Mais comme \((f_1,\dots, f_n)\) est libre, on aurait en particulier \(\Delta_{nn} = 0\), mais \(\Delta_{nn} = \mathop{\rm det}(A_{n-1}) \neq 0\) ce qui est absurde.


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