Soient deux matrices à coefficients réels \((A, B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) ^2\). On suppose qu’elles sont semblables dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C} })\). Montrer qu’elles sont semblables dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\).


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[ID: 2173] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 444
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37

Par hypothèse, il existe une matrice \(P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C} )\) telle que \(B = PAP^{-1}\). Notons \(P = P_1 + iP_2\) avec \((P_1, P_2) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) ^2\). Puisque \(BP = PA\), on en tire que \(BP_1 + iBP_2 = P_1A + iP_2B\) d’où en identifiant partie réelle et partie imaginaire de chaque coefficient, \(BP_1 = P_1A\) et \(BP_2 = P_2B\). Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). Posons \(Q = P_1 + \lambda P_2\). On a \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\), \(BQ = QA\). Il suffit donc de trouver un réel \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(Q = P_1 + \lambda P_2\) soit une matrice inversible. Considérons le polynôme \[\pi(\lambda) = \mathop{\rm det}(P_1 + \lambda P_2).\] Si l’on avait \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\), \(\pi(\lambda)= 0\), le polynôme complexe \(\pi(\lambda)\) serait nul et alors \(\pi(i) = 0\), ce qui est faux puisque \(P\) est une matrice inversible dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C} })\). Par conséquent, il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(Q = P_1 + \lambda P_2\) soit une matrice inversible de \(\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R} )\) et alors \(B = QAQ^{-1}\).


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