Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) à coefficients entiers relatifs. Montrer l’équivalence \[{A \textrm{ inversible et } A^{-1} \textrm{ a ses coefficients dans } \mathbb{Z} } \Longleftrightarrow{\mathop{\rm det}(A) = \pm 1}.\] Démontrer que \(Gl_n({\mathbb{Z}})=\{ M\in M_n({\mathbb{Z}})\ ~|~ \mathop{\rm det}(M)\in \{ -1,1\} \}\) est un sous-groupe de \(Gl_n({\mathbb{R}})\).


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[ID: 2171] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 114
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37
  1. \({\Rightarrow}\). Comme \(\mathop{\rm det}(A), \mathop{\rm det}(A^{-1}) \in \mathbb{Z}\), et que \(\mathop{\rm det}(A) = \dfrac{1}{\mathop{\rm det}(A)} \in \mathbb{Z}\), on doit avoir que \(\mathop{\rm det}(A) = \pm 1\).

  2. \({\Leftarrow}\). En utilisant la formule \[A^{-1} = \dfrac{1}{\mathop{\rm det}(A)} {\widetilde{A}}^{\mathrm{T}}\] comme tous les cofacteurs \(\Delta_{ij}\) de \(A\) sont des entiers, et que \(\mathop{\rm det}(A) = \pm 1\), on voit que les coefficients de \(A^{-1}\) sont entiers.

On en déduit facilement que \(Gl_n({\mathbb{Z}})\) est un sous-groupe de \(Gl_n({\mathbb{R}})\)


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