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Exercice 114
Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) à coefficients entiers relatifs. Montrer l’équivalence \[{A \textrm{ inversible et } A^{-1} \textrm{ a ses coefficients dans } \mathbb{Z} } \Longleftrightarrow{\mathop{\rm det}(A) = \pm 1}.\] Démontrer que \(Gl_n({\mathbb{Z}})=\{ M\in M_n({\mathbb{Z}})\ ~|~ \mathop{\rm det}(M)\in \{ -1,1\} \}\) est un sous-groupe de \(Gl_n({\mathbb{R}})\).
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[ID: 2171] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 114
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:37
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:37
On en déduit facilement que \(Gl_n({\mathbb{Z}})\) est un sous-groupe de \(Gl_n({\mathbb{R}})\)
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