Déterminer toutes les formes \(p\)-linéaires alternées sur \(\mathbb{R}^{n}\)\(p>n\).


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[ID: 2169] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 693
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37

Soit \(f\) une telle forme \(p\)-linéaire alternée. Soit \((e_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) la base naturelle de \(\mathbb{R}^{n}\). Soit \(\varphi\) une application de \(\{1,\ldots,p\}\) dans \(\{1,\ldots,n\}\). On calcule \(f(e_{\varphi(1)}, \ldots, e_{\varphi(p)})\). D’après le principe des tiroirs, il existe deux indices \(i\) et \(j\) distincts tels que \(\varphi(i) = \varphi(j)\) On en déduit que \(f(e_{\varphi(1)}, \ldots, e_{\varphi(p)}) = 0\), et ce pour toute application \(\varphi\) de \(\{1,\ldots,p\}\) dans \(\{1,\ldots,n\}\). Par linéarité, \(f\) est nulle.


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