Soit \(f: \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\) une application vérifiant \(f \neq 0\), \(f(0)=0\) et \[\forall A,B \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}) , \quad f(AB)= f(A) f(B) .\] Montrer que \[f(A)=0 \Longleftrightarrow \mathop{\rm det}(A)=0 .\]


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[ID: 2167] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 273
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37

Remarquons que \(f(I_2)=1\). En effet, \(f(I_2)=f(I_2. I_2)=f(I_2).f(I_2)\) et donc soit \(f(I_2)=0\), soit \(f(I_2)=1\). Si \(f(I_2)=0\) alors pour tout \(A\in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\), \(f(A)=f(A.I_2)=f(A).f(I_2)=0\) et \(f=0\) ce qui contredit une des hypothèses faites sur \(f\). Donc \(f(I_2)=1\).

  • Par contraposée, on suppose que \(A\in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) est inversible, c’est-à-dire que \(\mathop{\rm det}(A)\neq 0\). Alors \(1=f(I_2)=f\left(A.A^{-1}\right)=f(A).f\left(A^{-1}\right)\) et \(f(A)\neq 0\).

  • Soit \(A\in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) une matrice de déterminant nul. Si \(A=0\) alors par hypothèse \(f(A)=0\) et la propriété est prouvée. Sinon, alors \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=1\) et il existe des matrices inversibles \(P,Q\in\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) telles que \(A=P J Q\) avec \(J=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end {pmatrix}\). Pour prouver que \(f(A)=0\) il suffit de montrer que \(f(J)=0\). Soit \(K=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\). Alors \(f(J).f(K)=f(J.K)=f(0)=0\) donc soit \(f(J)=0\), soit \(f(K)=0\). Mais si \(f(K)=0\) alors, comme \(K\) est de rang \(1\), il existe des matrices inversibles \(P_0,Q_0\in\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) telles que \(K=P_0 JQ_0\) et donc \(J=P_0^{-1} K Q_0^{-1}\). Mais alors \(f(J)=f\left(P_0^{-1} K Q_0^{-1}\right)=f\left(P_0^{-1}\right)f\left(K\right)f\left(Q_0^{-1}\right)=0\). Dans tous les cas, on a bien \(f(J)=0\) et donc \(f(A)=0\).


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