Déterminer le rang de la comatrice \(\widetilde{A}\) en fonction du rang de \(A\). (Penser à la caractérisation du rang par les matrices extraites.)


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[ID: 2165] [Date de publication: 17 mai 2021 11:37] [Catégorie(s): Exercices théoriques sur les déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 596
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:37

Soit \(n\) la taille de la matrice \(A\). Si \(A\) est de rang \(n\), alors elle est inversible et \(\widetilde{A}\) l’est aussi, donc elle est aussi de rang \(n\).
Si \(A\) est de rang \(<n-1\), alors tous les déterminants extraits d’ordre \(n-1\) sont nuls, donc a fortiori tous les mineurs sont nuls et donc \(\widetilde{A}\) est nulle et donc de rang nul.
Reste à voir le cas où le rang de \(A\) est \(n-1\). Cela entraine que \(D = \{ X\in \mathbb{R}^n \mid AX = 0\}\) est de dimension \(1\). Comme on a \(A{\widetilde{A}}^{\mathrm{T}} = 0\), on en déduit que \(\forall X\in \mathbb{R}^n, {\widetilde{A}}^{\mathrm{T}}X \in D\). Ceci signifie que \({\widetilde{A}}^{\mathrm{T}}\) est de rang inférieur ou égal à \(1\). Il en est de même pour sa transposée \(\widetilde{A}\). Enfin comme \(A\) est de rang \(n-1\), elle admet au moins un déterminant extrait d’ordre \(n-1\) non nul. Mais un déterminant extrait d’ordre \(n-1\) est nécessairement un mineur. Donc \(\widetilde{A}\) admet au moins un élément non nul et est donc de rang \(\geqslant 1\). Finalement, si le rang de \(A\) est \(n-1\), alors le rang de \(\widetilde{A}\) est \(1\).


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