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[ID: 2157] [Date de publication: 17 mai 2021 11:29] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 853
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29

Soit \(A = (a_{ij})_{\substack{1\leqslant i \leqslant 8 \\ 1\leqslant j \leqslant 8}}\) et \(I_8 = (a'_{ij})_{\substack{1\leqslant i \leqslant 8 \\ 1\leqslant j \leqslant 8}}\).

On a \(\forall 1\leqslant i,j\leqslant 8, a_{ij} \equiv a'_{ij} \pmod2\) et \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}\dots a_{\sigma(n),n} \equiv \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}\dots a'_{\sigma(n),n} \equiv \mathop{\rm det}(I_8) \equiv 1 \pmod2.\]

Donc \(\mathop{\rm det}(A)\) est impair, et donc non nul. Par suite, \(A\) est inversible.

Les amateurs de calcul à la main doivent savoir que \(\mathop{\rm det}(A) = -3060949331422362741897\) avant de s’engager dans cette voie.