Démontrer que la matrice \[A = \begin{pmatrix} 167 & 72 & 152 & 396 & 82 & 670 & 742 & 160 \\ 54 & 315 & 116 & 262 & 764 & 128 & 808 & 784 \\ 338 & 146 & 83 & 418 & 804 & 468 & 504 & 312 \\ 658 & 268 & 114 & 203 & 622 & 98 & 580 & 566 \\ 290 & 590 & 258 & 110 & 805 & 58 & 512 & 346 \\ 226 & 994 & 294 & 572 & 744 & 93 & 288 & 8 \\ 392 & 698 & 594 & 372 & 416 & 340 & 343 & 702 \\ 968 & 274 & 110 & 674 & 260 & 646 & 608 & 217 \end{pmatrix}\] est inversible.


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[ID: 2157] [Date de publication: 17 mai 2021 11:29] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 853
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:29

Soit \(A = (a_{ij})_{\substack{1\leqslant i \leqslant 8 \\ 1\leqslant j \leqslant 8}}\) et \(I_8 = (a'_{ij})_{\substack{1\leqslant i \leqslant 8 \\ 1\leqslant j \leqslant 8}}\).

On a \(\forall 1\leqslant i,j\leqslant 8, a_{ij} \equiv a'_{ij} \pmod2\) et \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}\dots a_{\sigma(n),n} \equiv \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}\dots a'_{\sigma(n),n} \equiv \mathop{\rm det}(I_8) \equiv 1 \pmod2.\]

Donc \(\mathop{\rm det}(A)\) est impair, et donc non nul. Par suite, \(A\) est inversible.

Les amateurs de calcul à la main doivent savoir que \(\mathop{\rm det}(A) = -3060949331422362741897\) avant de s’engager dans cette voie.


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