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[ID: 2155] [Date de publication: 17 mai 2021 11:29] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

Solution(s)

Déterminant de Cauchy
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 17 mai 2021 11:29

1. Puisque \(\deg R(X) = -1\), et tous les pôles \(a_i\) sont simples, la décomposition s’écrit : \[R(X) = \sum_{k=1}^n \dfrac{\lambda_k}{X+a_k} \textrm{ où } \lambda_k = \dfrac{\prod_{j=1}^{n-1} (b_j+a_k)}{\prod_{j\neq k} (a_j - a_k)} \neq 0.\]

2. En effectuant l’opération \(L_n \leftarrow \sum_{i=1}^n\lambda_i L_i\), on obtient \[\Delta_n = \dfrac{1}{\lambda_n} \begin{vmatrix} L_1\\ \vdots \\ L_{n-1} \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i L_i \end{vmatrix} = \dfrac{1}{\lambda_n} \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a_1 + b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \dfrac{1}{a_{n-1} + b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_{n-1} + b_n} \\ R(b_1) & \dots & R(b_n) \end{vmatrix}.\] Mais comme \(R(b_1) = \dots = R(b_{n-1}) = 0\), \[\Delta_n = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a_1+b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_1+b_{n-1}} & \dfrac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ \dfrac{1}{a_{n-1} + b_1} & \dots &\dfrac{1}{a_{n-1} + b_{n-1}} & \dfrac{1}{a_{n-1} + b_n} \\ 0 & \dots & 0 & R(b_n) \end{vmatrix}.\] En développant par rapport à la dernière ligne, on tire \[\Delta_n = \dfrac{R(b_n)}{\lambda_n} = \dfrac{\prod_{i=1}^{n-1} (b_n - b_i) \prod_{i=1}^{n-1} (a_i - a_n)} {\prod_{i=1}^n(b_n+a_i) \prod_{i=1}^{n-1}(a_n+b_i)} \Delta_{n-1}.\]

3. Puisque \(\Delta_1 = \dfrac{1}{a_1+b_1}\), la relation de récurrence précédente donne \[\Delta_n = \dfrac{\prod_{i < j} (a_j-a_i) \prod_{i<j}(b_j-b_i)}{ \prod_{1\leqslant i, j\leqslant n} (a_i + b_j)}.\]