On considère \(2n\) scalaires \(a_1,b_1,\dots, a_n, b_n\) tels que tous les \(a_i\) sont distincts et \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(a_i + b_i \neq 0\). On veut calculer le déterminant de Cauchy suivant : \[\Delta_n = \begin{vmatrix} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_1+b_1} & \dots & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_n+b_1} & \dots & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_n+b_n} \end{vmatrix}.\]

  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \[R(X) = \dfrac{(b_1-X)\dots (b_{n-1}-X)}{(X+a_1)\dots(X+a_n)}.\]

  2. Exprimer \(\Delta_n\) en fonction de \(\Delta_{n-1}\).

  3. Calculer \(\Delta_n\).


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[ID: 2155] [Date de publication: 17 mai 2021 11:29] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Déterminant de Cauchy
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:29
  1. Puisque \(\deg R(X) = -1\), et tous les pôles \(a_i\) sont simples, la décomposition s’écrit : \[R(X) = \sum_{k=1}^n \dfrac{\lambda_k}{X+a_k} \textrm{ où } \lambda_k = \dfrac{\prod_{j=1}^{n-1} (b_j+a_k)}{\prod_{j\neq k} (a_j - a_k)} \neq 0.\]

  2. En effectuant l’opération \(L_n \leftarrow \sum_{i=1}^n\lambda_i L_i\), on obtient \[\Delta_n = \dfrac{1}{\lambda_n} \begin{vmatrix} L_1\\ \vdots \\ L_{n-1} \\ \sum_{i=1}^n \lambda_i L_i \end{vmatrix} = \dfrac{1}{\lambda_n} \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a_1 + b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \dfrac{1}{a_{n-1} + b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_{n-1} + b_n} \\ R(b_1) & \dots & R(b_n) \end{vmatrix}.\] Mais comme \(R(b_1) = \dots = R(b_{n-1}) = 0\), \[\Delta_n = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{a_1+b_1} & \dots & \dfrac{1}{a_1+b_{n-1}} & \dfrac{1}{a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ \dfrac{1}{a_{n-1} + b_1} & \dots &\dfrac{1}{a_{n-1} + b_{n-1}} & \dfrac{1}{a_{n-1} + b_n} \\ 0 & \dots & 0 & R(b_n) \end{vmatrix}.\] En développant par rapport à la dernière ligne, on tire \[\Delta_n = \dfrac{R(b_n)}{\lambda_n} = \dfrac{\prod_{i=1}^{n-1} (b_n - b_i) \prod_{i=1}^{n-1} (a_i - a_n)} {\prod_{i=1}^n(b_n+a_i) \prod_{i=1}^{n-1}(a_n+b_i)} \Delta_{n-1}.\]

  3. Puisque \(\Delta_1 = \dfrac{1}{a_1+b_1}\), la relation de récurrence précédente donne \[\Delta_n = \dfrac{\prod_{i < j} (a_j-a_i) \prod_{i<j}(b_j-b_i)}{ \prod_{1\leqslant i, j\leqslant n} (a_i + b_j)}.\]


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