Calculer les déterminants suivants en utilisant un déterminant de Vandermonde : \[\Delta_1=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\* a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ bcd & acd & abd & abc \end{vmatrix}, \quad \Delta_2= \begin{vmatrix} 1&a&a^2&a^4\\ 1&b&b^2&b^4 \\ 1&c&c^2&c^4 \newline 1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}.\]

Pour le deuxième, introduire \[P(x)=\begin{vmatrix} 1&x&x^2&x^3&x^4\\ 1&a&a^2&a^3&a^4\\ 1&b&b^2&b^3&b^4 \\ 1&c&c^2&c^3&c^4 \\ 1&d&d^2&d^3&d^4\end{vmatrix}\]

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[ID: 2153] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 435
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:29

Supposons dans un premier temps que \(abcd\neq 0\). Alors \[\Delta_1= \dfrac{1}{abcd}\mathop{\rm det}(aC_1,bC_2,cC_3,dC_4) =\dfrac{1}{abcd}\begin{vmatrix} a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3 \\ abcd & abcd & abcd &abcd \end{vmatrix} =(-1)^3 \begin{vmatrix}1&1&1&1 \\ a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3\end{vmatrix}\] et on reconnaît un déterminant de Vandermonde donc \(\Delta_1=-(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)\).

Si on suppose que \(abcd=0\), considérons \(f(\varepsilon)=\Delta_1(a+\varepsilon,b+\varepsilon,c+\varepsilon,d+\varepsilon)\) avec \(\varepsilon\) en sorte que \(\left(a+\varepsilon\right)\left(b+\varepsilon\right)\left(c+\varepsilon\right)\left(d+\varepsilon\right)\neq 0\). Cette fonction est continue en \(\varepsilon\) car polynomiale en \(\varepsilon\). Lorsque \(\varepsilon\rightarrow 0\), on retrouve l’expression de \(\Delta_1\). C’est une astuce classique à retenir.

Pour \(\Delta_2\), on calcule le déterminant de Vandermonde \[P(x)=V(x,a,b,c,d)=(d-x)(d-a)(d-b)(d-c)\dots(a-x)\] et en développant \(P(x)\) par rapport à la première ligne, on s’aperçoit que \(\Delta_2\) est le coefficient en \(x^3\) de \(P(x)\). On obtient donc \(\boxed{ \Delta_2= -(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) }\).


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