Trouver les matrices \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telles que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) , \quad \mathop{\rm det}(A+X) = \mathop{\rm det}(A) + \mathop{\rm det}(X).\]


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[ID: 2151] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 662
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28

Soit \(A\) une telle matrice. En prenant \(X = A\), on obtient que \(\mathop{\rm det}(2A) = 2\mathop{\rm det}(A)\) d’où \(2^{n-1}\mathop{\rm det}(A) = 0\). Lorsque \(n \geqslant 2\), il est nécessaire que \(\mathop{\rm det}(A) = 0\). On a donc : \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) , \quad \mathop{\rm det}(A+X) = \mathop{\rm det}(X)\] Notons \(r\) le rang de \(A\). La matrice \(A\) est équivalente à la matrice \(J_r\) donc il existe deux matrices inversibles \(P, Q \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telles que \(A = PJ_rQ\). Si l’on suppose que \(r > 0\), en prenant \(X = P(Y_{n-r})Q\)\(Y_{n-r}\) désigne la matrice \(\mathrm{Diag}(0,\dots, 0, 1, \dots, 1)\) avec \((n-r)\) \(1\) sur la diagonale, on trouve que \(\mathop{\rm det}(PQ) = \mathop{\rm det}(P)\mathop{\rm det}(Y_{n-r}) \mathop{\rm det}(Q)\) ce qui est absurde puisque la matrice \(Y_{n-r}\) n’est pas inversible. Nécessairement, \(r = 0\) et donc \(A = 0\). Réciproquement, la matrice nulle convient.


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