1. Calculer le déterminant de la matrice \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

  2. On dit qu’une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) est un dérangement lorsque \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(\sigma(i) \neq i\). Y a-t-il plus de dérangements de signature \(+1\) que de dérangements de signature \(-1\) ?


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[ID: 2149] [Date de publication: 17 mai 2021 11:28] [Catégorie(s): Déterminants ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Dérangement
Par emmanuel le 17 mai 2021 11:28
  1. Avec l’opération \(\leftarrow C_1{C_1+C_2+\dots + C_n}\), on factorise \((n-1)\) dans la première colonne. Ensuite pour \(i \in [\kern-0.127em[ 2, n ]\kern-0.127em]\), \(\leftarrow C_i{C_i-C_1}\) fait apparaître des zéros et on trouve que \(\mathop{\rm det}(A) = (-1)^{n-1}(n-1)\).

  2. Avec la formule du déterminant, \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)}^{ }} \varepsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} \dots a_{\sigma(n),n}\] si \(\sigma\) n’est pas un dérangement, il existe \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\) tel que \(\sigma(i) = i\) et alors \(a_{\sigma(i),i} = 0\). En notant \(\mathcal{D}_n\) l’ensemble des dérangements, \(d_n^+\) le nombre de dérangements pairs et \(d_n^-\) le nombre de dérangements impairs, \[\mathop{\rm det}(A) = \displaystyle{\sum_{\sigma \in \mathcal{D}_n}^{ }} \varepsilon(\sigma) = d_n^+ - d_n^-.\] Lorsque \(n\) est impair, comme \(\mathop{\rm det}(A) > 0\), il y a plus de dérangements pairs que d’impairs et lorsque \(n\) est pair, c’est le contraire.


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